Selesaikan 15b^2-100b-160

$$15 b ^ { 2 } - 100 b - 160$$

Faktor

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan 5.

$$5\left(3b^{2}-20b-32\right)$$

Pertimbangkan 3b^{2}-20b-32. Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 3b^{2}+pb+qb-32. Untuk mencari p dan q, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$p+q=-20 pq=3\left(-32\right)=-96$$

Oleh kerana pq adalah negatif, p dan q mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana p+q adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -96.

$$1,-96 2,-48 3,-32 4,-24 6,-16 8,-12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-96=-95 2-48=-46 3-32=-29 4-24=-20 6-16=-10 8-12=-4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -20.

$$p=-24 q=4$$

Tulis semula 3b^{2}-20b-32 sebagai \left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right).

$$\left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right)$$

Faktorkan 3b dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$3b\left(b-8\right)+4\left(b-8\right)$$

Faktorkan sebutan lazim b-8 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Tulis semula ungkapan difaktorkan yang lengkap.

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$15b^{2}-100b-160=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Kuasa dua -100.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Darabkan -4 kali 15.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-60\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Darabkan -60 kali -160.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000+9600}}{2\times 15}$$

Tambahkan 10000 pada 9600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{19600}}{2\times 15}$$

Ambil punca kuasa dua 19600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±140}{2\times 15}$$

Nombor bertentangan -100 ialah 100.

$$b=\frac{100±140}{2\times 15}$$

Darabkan 2 kali 15.

$$b=\frac{100±140}{30}$$

Sekarang selesaikan persamaan b=\frac{100±140}{30} apabila ± ialah plus. Tambahkan 100 pada 140.

$$b=\frac{240}{30}$$

Bahagikan 240 dengan 30.

$$b=8$$

Sekarang selesaikan persamaan b=\frac{100±140}{30} apabila ± ialah minus. Tolak 140 daripada 100.

$$b=-\frac{40}{30}$$

Kurangkan pecahan \frac{-40}{30} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$b=-\frac{4}{3}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan 8 dengan x_{1} dan -\frac{4}{3} dengan x_{2}.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b+\frac{4}{3}\right)$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada b dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\times \frac{3b+4}{3}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 3 dalam 15 dan 3.

$$15b^{2}-100b-160=5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Nilaikan

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$