Selesaikan 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Faktor

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 15x^{2}+ax+bx-16. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -8.

$$a=-20 b=12$$

Tulis semula 15x^{2}-8x-16 sebagai \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Faktorkan 5x dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Kuasa dua -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Darabkan -4 kali 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Darabkan -60 kali -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Tambahkan 64 pada 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Ambil punca kuasa dua 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

Nombor bertentangan -8 ialah 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Darabkan 2 kali 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{8±32}{30} apabila ± ialah plus. Tambahkan 8 pada 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Kurangkan pecahan \frac{40}{30} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{8±32}{30} apabila ± ialah minus. Tolak 32 daripada 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Kurangkan pecahan \frac{-24}{30} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{4}{3} dengan x_{1} dan -\frac{4}{5} dengan x_{2}.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Tolak \frac{4}{3} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Tambahkan \frac{4}{5} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Darabkan \frac{3x-4}{3} dengan \frac{5x+4}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Darabkan 3 kali 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 15 dalam 15 dan 15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Nilaikan

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$