Selesaikan 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 15x^{2}+ax+bx-4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 4.

$$a=-6 b=10$$

Tulis semula 15x^{2}+4x-4 sebagai \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 5x-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 5x-2=0 dan 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 15 dengan a, 4 dengan b dan -4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Kuasa dua 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Darabkan -4 kali 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Darabkan -60 kali -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Tambahkan 16 pada 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Ambil punca kuasa dua 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Darabkan 2 kali 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±16}{30} apabila ± ialah plus. Tambahkan -4 pada 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Kurangkan pecahan \frac{12}{30} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±16}{30} apabila ± ialah minus. Tolak 16 daripada -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Kurangkan pecahan \frac{-20}{30} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Menolak -4 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Tolak -4 daripada 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Membahagi dengan 15 membuat asal pendaraban dengan 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Bahagikan \frac{4}{15} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{2}{15}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{2}{15} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{2}{15} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Tambahkan \frac{4}{15} pada \frac{4}{225} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Tolak \frac{2}{15} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$