Selesaikan 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 14x^{2}+ax+bx-15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -29.

$$a=-35 b=6$$

Tulis semula 14x^{2}-29x-15 sebagai \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Faktorkan 7x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-5=0 dan 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 14 dengan a, -29 dengan b dan -15 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Kuasa dua -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Darabkan -4 kali 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Darabkan -56 kali -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Tambahkan 841 pada 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Ambil punca kuasa dua 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

Nombor bertentangan -29 ialah 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Darabkan 2 kali 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{29±41}{28} apabila ± ialah plus. Tambahkan 29 pada 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Kurangkan pecahan \frac{70}{28} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{29±41}{28} apabila ± ialah minus. Tolak 41 daripada 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Kurangkan pecahan \frac{-12}{28} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Menolak -15 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Tolak -15 daripada 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Membahagi dengan 14 membuat asal pendaraban dengan 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Bahagikan -\frac{29}{14} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{29}{28}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{29}{28} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{29}{28} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Tambahkan \frac{15}{14} pada \frac{841}{784} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Faktor x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Tambahkan \frac{29}{28} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$