Selesaikan 13x=x^2+30

$$13 x = x ^ { 2 } + 30$$

Selesaikan untuk x

$$x=3$$

$$x=10$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$13x-x^{2}=30$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -x^{2}+ax+bx-30. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 13.

$$a=10 b=3$$

Tulis semula -x^{2}+13x-30 sebagai \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-10 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-10=0 dan -x+3=0.

$$x=10 x=3$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$13x-x^{2}=30$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 13 dengan b dan -30 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+4\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 169 pada -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-13±7}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-13±7}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -13 pada 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Bahagikan -6 dengan -2.

$$x=3$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-13±7}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada -13.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Bahagikan -20 dengan -2.

$$x=10$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=3 x=10$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$13x-x^{2}=30$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+13x=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-x^{2}+13x}{-1}=\frac{30}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$x^{2}+\frac{13}{-1}x=\frac{30}{-1}$$

Bahagikan 13 dengan -1.

$$x^{2}-13x=\frac{30}{-1}$$

Bahagikan 30 dengan -1.

$$x^{2}-13x=-30$$

Bahagikan -13 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{13}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{13}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{13}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Tambahkan -30 pada \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Tambahkan \frac{13}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=10 x=3$$