Selesaikan 13p^2-11p-2=0

$$13 p ^ { 2 } - 11 p - 2 = 0$$

Selesaikan untuk p

$$p=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

$$p=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 13p^{2}+ap+bp-2. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-11 ab=13\left(-2\right)=-26$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -26.

$$1,-26 2,-13$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-26=-25 2-13=-11$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -11.

$$a=-13 b=2$$

Tulis semula 13p^{2}-11p-2 sebagai \left(13p^{2}-13p\right)+\left(2p-2\right).

$$\left(13p^{2}-13p\right)+\left(2p-2\right)$$

Faktorkan 13p dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$13p\left(p-1\right)+2\left(p-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim p-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(p-1\right)\left(13p+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan p-1=0 dan 13p+2=0.

$$p=1 p=-\frac{2}{13}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$13p^{2}-11p-2=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 13 dengan a, -11 dengan b dan -2 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 13\left(-2\right)}}{2\times 13}$$

Kuasa dua -11.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 13\left(-2\right)}}{2\times 13}$$

Darabkan -4 kali 13.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-52\left(-2\right)}}{2\times 13}$$

Darabkan -52 kali -2.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+104}}{2\times 13}$$

Tambahkan 121 pada 104.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{225}}{2\times 13}$$

Ambil punca kuasa dua 225.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±15}{2\times 13}$$

Nombor bertentangan -11 ialah 11.

$$p=\frac{11±15}{2\times 13}$$

Darabkan 2 kali 13.

$$p=\frac{11±15}{26}$$

Sekarang selesaikan persamaan p=\frac{11±15}{26} apabila ± ialah plus. Tambahkan 11 pada 15.

$$p=\frac{26}{26}$$

Bahagikan 26 dengan 26.

$$p=1$$

Sekarang selesaikan persamaan p=\frac{11±15}{26} apabila ± ialah minus. Tolak 15 daripada 11.

$$p=-\frac{4}{26}$$

Kurangkan pecahan \frac{-4}{26} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$p=-\frac{2}{13}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$p=1 p=-\frac{2}{13}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$13p^{2}-11p-2=0$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$13p^{2}-11p-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Menolak -2 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$13p^{2}-11p=-\left(-2\right)$$

Tolak -2 daripada 0.

$$13p^{2}-11p=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$\frac{13p^{2}-11p}{13}=\frac{2}{13}$$

Membahagi dengan 13 membuat asal pendaraban dengan 13.

$$p^{2}-\frac{11}{13}p=\frac{2}{13}$$

Bahagikan -\frac{11}{13} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{26}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{11}{26} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$p^{2}-\frac{11}{13}p+\left(-\frac{11}{26}\right)^{2}=\frac{2}{13}+\left(-\frac{11}{26}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{11}{26} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$p^{2}-\frac{11}{13}p+\frac{121}{676}=\frac{2}{13}+\frac{121}{676}$$

Tambahkan \frac{2}{13} pada \frac{121}{676} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$p^{2}-\frac{11}{13}p+\frac{121}{676}=\frac{225}{676}$$

Faktor p^{2}-\frac{11}{13}p+\frac{121}{676}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{11}{26}\right)^{2}=\frac{225}{676}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(p-\frac{11}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{676}}$$

Permudahkan.

$$p-\frac{11}{26}=\frac{15}{26} p-\frac{11}{26}=-\frac{15}{26}$$

Tambahkan \frac{11}{26} pada kedua-dua belah persamaan.

$$p=1 p=-\frac{2}{13}$$