Selesaikan 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Selesaikan untuk n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 13n^{2}+an+bn-120. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -41.

$$a=-65 b=24$$

Tulis semula 13n^{2}-41n-120 sebagai \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Faktorkan 13n dalam kumpulan pertama dan 24 dalam kumpulan kedua.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim n-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-5=0 dan 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 13 dengan a, -41 dengan b dan -120 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Kuasa dua -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Darabkan -4 kali 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Darabkan -52 kali -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Tambahkan 1681 pada 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Ambil punca kuasa dua 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Nombor bertentangan -41 ialah 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Darabkan 2 kali 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{41±89}{26} apabila ± ialah plus. Tambahkan 41 pada 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Bahagikan 130 dengan 26.

$$n=5$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{41±89}{26} apabila ± ialah minus. Tolak 89 daripada 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Kurangkan pecahan \frac{-48}{26} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Tambahkan 120 pada kedua-dua belah persamaan.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Menolak -120 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Tolak -120 daripada 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Membahagi dengan 13 membuat asal pendaraban dengan 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Bahagikan -\frac{41}{13} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{41}{26}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{41}{26} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{41}{26} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Tambahkan \frac{120}{13} pada \frac{1681}{676} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Faktor n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Permudahkan.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Tambahkan \frac{41}{26} pada kedua-dua belah persamaan.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$