Selesaikan 13a^2-12a-9=0

$$13 a ^ { 2 } - 12 a - 9 = 0$$

Selesaikan untuk a

$$a = \frac{3 \sqrt{17} + 6}{13} \approx 1.413024375$$

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}\approx -0.489947452$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 13 dengan a, -12 dengan b dan -9 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Kuasa dua -12.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Darabkan -4 kali 13.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-52\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Darabkan -52 kali -9.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+468}}{2\times 13}$$

Tambahkan 144 pada 468.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{612}}{2\times 13}$$

Ambil punca kuasa dua 612.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

Nombor bertentangan -12 ialah 12.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

Darabkan 2 kali 13.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}$$

Sekarang selesaikan persamaan a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} apabila ± ialah plus. Tambahkan 12 pada 6\sqrt{17}.

$$a=\frac{6\sqrt{17}+12}{26}$$

Bahagikan 12+6\sqrt{17} dengan 26.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13}$$

Sekarang selesaikan persamaan a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} apabila ± ialah minus. Tolak 6\sqrt{17} daripada 12.

$$a=\frac{12-6\sqrt{17}}{26}$$

Bahagikan 12-6\sqrt{17} dengan 26.

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$13a^{2}-12a-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Menolak -9 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$13a^{2}-12a=-\left(-9\right)$$

Tolak -9 daripada 0.

$$13a^{2}-12a=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$\frac{13a^{2}-12a}{13}=\frac{9}{13}$$

Membahagi dengan 13 membuat asal pendaraban dengan 13.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a=\frac{9}{13}$$

Bahagikan -\frac{12}{13} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{6}{13}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{6}{13} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{9}{13}+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{6}{13} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{9}{13}+\frac{36}{169}$$

Tambahkan \frac{9}{13} pada \frac{36}{169} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{153}{169}$$

Faktor a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{153}{169}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{169}}$$

Permudahkan.

$$a-\frac{6}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13} a-\frac{6}{13}=-\frac{3\sqrt{17}}{13}$$

Tambahkan \frac{6}{13} pada kedua-dua belah persamaan.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$