Selesaikan 13x^2-32x+1=0

$$13 { x }^{ 2 } -32x+1=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{9 \sqrt{3} + 16}{13} \approx 2.429881328$$

$$x=\frac{16-9\sqrt{3}}{13}\approx 0.031657133$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$13x^{2}-32x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 13 dengan a, -32 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 13}}{2\times 13}$$

Kuasa dua -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 13}}{2\times 13}$$

Darabkan -4 kali 13.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-52}}{2\times 13}$$

Tambahkan 1024 pada -52.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{972}}{2\times 13}$$

Ambil punca kuasa dua 972.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±18\sqrt{3}}{2\times 13}$$

Nombor bertentangan -32 ialah 32.

$$x=\frac{32±18\sqrt{3}}{2\times 13}$$

Darabkan 2 kali 13.

$$x=\frac{32±18\sqrt{3}}{26}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{32±18\sqrt{3}}{26} apabila ± ialah plus. Tambahkan 32 pada 18\sqrt{3}.

$$x=\frac{18\sqrt{3}+32}{26}$$

Bahagikan 32+18\sqrt{3} dengan 26.

$$x=\frac{9\sqrt{3}+16}{13}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{32±18\sqrt{3}}{26} apabila ± ialah minus. Tolak 18\sqrt{3} daripada 32.

$$x=\frac{32-18\sqrt{3}}{26}$$

Bahagikan 32-18\sqrt{3} dengan 26.

$$x=\frac{16-9\sqrt{3}}{13}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{9\sqrt{3}+16}{13} x=\frac{16-9\sqrt{3}}{13}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$13x^{2}-32x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$13x^{2}-32x+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$13x^{2}-32x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$\frac{13x^{2}-32x}{13}=-\frac{1}{13}$$

Membahagi dengan 13 membuat asal pendaraban dengan 13.

$$x^{2}-\frac{32}{13}x=-\frac{1}{13}$$

Bahagikan -\frac{32}{13} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{16}{13}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{16}{13} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{32}{13}x+\left(-\frac{16}{13}\right)^{2}=-\frac{1}{13}+\left(-\frac{16}{13}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{16}{13} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{32}{13}x+\frac{256}{169}=-\frac{1}{13}+\frac{256}{169}$$

Tambahkan -\frac{1}{13} pada \frac{256}{169} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{32}{13}x+\frac{256}{169}=\frac{243}{169}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{13}x+\frac{256}{169}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{13}\right)^{2}=\frac{243}{169}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{243}{169}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{16}{13}=\frac{9\sqrt{3}}{13} x-\frac{16}{13}=-\frac{9\sqrt{3}}{13}$$

Tambahkan \frac{16}{13} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{9\sqrt{3}+16}{13} x=\frac{16-9\sqrt{3}}{13}$$