Selesaikan 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0.083333333+0.640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0.083333333-0.640095479i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 12 dengan a, -2 dengan b dan 5 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Kuasa dua -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Darabkan -48 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Tambahkan 4 pada -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua -236.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2 pada 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

Bahagikan 2+2i\sqrt{59} dengan 24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{59} daripada 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

Bahagikan 2-2i\sqrt{59} dengan 24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

Menolak 5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Membahagi dengan 12 membuat asal pendaraban dengan 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-2}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Bahagikan -\frac{1}{6} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{12}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{12} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{12} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

Tambahkan -\frac{5}{12} pada \frac{1}{144} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Tambahkan \frac{1}{12} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$