Selesaikan 12x^2-17x-40

$$12 x ^ { 2 } - 17 x - 40$$

Faktor

$$\left(3x-8\right)\left(4x+5\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 12x^{2}+ax+bx-40. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-17 ab=12\left(-40\right)=-480$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -480.

$$1,-480 2,-240 3,-160 4,-120 5,-96 6,-80 8,-60 10,-48 12,-40 15,-32 16,-30 20,-24$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-480=-479 2-240=-238 3-160=-157 4-120=-116 5-96=-91 6-80=-74 8-60=-52 10-48=-38 12-40=-28 15-32=-17 16-30=-14 20-24=-4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -17.

$$a=-32 b=15$$

Tulis semula 12x^{2}-17x-40 sebagai \left(12x^{2}-32x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(12x^{2}-32x\right)+\left(15x-40\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-8 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-8\right)\left(4x+5\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-17x-40=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 12\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

Kuasa dua -17.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 12\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-48\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -48 kali -40.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+1920}}{2\times 12}$$

Tambahkan 289 pada 1920.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{2209}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua 2209.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±47}{2\times 12}$$

Nombor bertentangan -17 ialah 17.

$$x=\frac{17±47}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$x=\frac{17±47}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{17±47}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan 17 pada 47.

$$x=\frac{64}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{64}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{17±47}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 47 daripada 17.

$$x=-\frac{30}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-30}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{8}{3} dengan x_{1} dan -\frac{5}{4} dengan x_{2}.

$$12x^{2}-17x-40=12\left(x-\frac{8}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$12x^{2}-17x-40=12\left(x-\frac{8}{3}\right)\left(x+\frac{5}{4}\right)$$

Tolak \frac{8}{3} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$12x^{2}-17x-40=12\times \frac{3x-8}{3}\left(x+\frac{5}{4}\right)$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$12x^{2}-17x-40=12\times \frac{3x-8}{3}\times \frac{4x+5}{4}$$

Darabkan \frac{3x-8}{3} dengan \frac{4x+5}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$12x^{2}-17x-40=12\times \frac{\left(3x-8\right)\left(4x+5\right)}{3\times 4}$$

Darabkan 3 kali 4.

$$12x^{2}-17x-40=12\times \frac{\left(3x-8\right)\left(4x+5\right)}{12}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 12 dalam 12 dan 12.

$$12x^{2}-17x-40=\left(3x-8\right)\left(4x+5\right)$$

Nilaikan

$$\left(3x-8\right)\left(4x+5\right)$$