Selesaikan 12x^2+x-13=0

$$12 x ^ { 2 } + x - 13 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{13}{12} = -1\frac{1}{12} \approx -1.083333333$$

$$x=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 12x^{2}+ax+bx-13. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=1 ab=12\left(-13\right)=-156$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -156.

$$-1,156 -2,78 -3,52 -4,39 -6,26 -12,13$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+156=155 -2+78=76 -3+52=49 -4+39=35 -6+26=20 -12+13=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 1.

$$a=-12 b=13$$

Tulis semula 12x^{2}+x-13 sebagai \left(12x^{2}-12x\right)+\left(13x-13\right).

$$\left(12x^{2}-12x\right)+\left(13x-13\right)$$

Faktorkan 12x dalam kumpulan pertama dan 13 dalam kumpulan kedua.

$$12x\left(x-1\right)+13\left(x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-1\right)\left(12x+13\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-1=0 dan 12x+13=0.

$$x=1 x=-\frac{13}{12}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$12x^{2}+x-13=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 12 dengan a, 1 dengan b dan -13 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 12\left(-13\right)}}{2\times 12}$$

Kuasa dua 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 12\left(-13\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-48\left(-13\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -48 kali -13.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+624}}{2\times 12}$$

Tambahkan 1 pada 624.

$$x=\frac{-1±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua 625.

$$x=\frac{-1±25}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$x=\frac{-1±25}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±25}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan -1 pada 25.

$$x=\frac{24}{24}$$

Bahagikan 24 dengan 24.

$$x=1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±25}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 25 daripada -1.

$$x=-\frac{26}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-26}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{13}{12}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=1 x=-\frac{13}{12}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+x-13=0$$

Tambahkan 13 pada kedua-dua belah persamaan.

$$12x^{2}+x-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

Menolak -13 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$12x^{2}+x=-\left(-13\right)$$

Tolak -13 daripada 0.

$$12x^{2}+x=13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$\frac{12x^{2}+x}{12}=\frac{13}{12}$$

Membahagi dengan 12 membuat asal pendaraban dengan 12.

$$x^{2}+\frac{1}{12}x=\frac{13}{12}$$

Bahagikan \frac{1}{12} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{24}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{24} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{1}{12}x+\left(\frac{1}{24}\right)^{2}=\frac{13}{12}+\left(\frac{1}{24}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{24} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{1}{12}x+\frac{1}{576}=\frac{13}{12}+\frac{1}{576}$$

Tambahkan \frac{13}{12} pada \frac{1}{576} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{1}{12}x+\frac{1}{576}=\frac{625}{576}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{12}x+\frac{1}{576}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{1}{24}=-\frac{25}{24}$$

Tolak \frac{1}{24} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1 x=-\frac{13}{12}$$