Selesaikan 12x^2+16x-3=0

$$12 x ^ { 2 } + 16 x - 3 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 12x^{2}+ax+bx-3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=16 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 16.

$$a=-2 b=18$$

Tulis semula 12x^{2}+16x-3 sebagai \left(12x^{2}-2x\right)+\left(18x-3\right).

$$\left(12x^{2}-2x\right)+\left(18x-3\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(6x-1\right)+3\left(6x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 6x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(6x-1\right)\left(2x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 6x-1=0 dan 2x+3=0.

$$x=\frac{1}{6} x=-\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$12x^{2}+16x-3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 12 dengan a, 16 dengan b dan -3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Kuasa dua 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -48 kali -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 12}$$

Tambahkan 256 pada 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$x=\frac{-16±20}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-16±20}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan -16 pada 20.

$$x=\frac{4}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{4}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{1}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-16±20}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 20 daripada -16.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-36}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{6} x=-\frac{3}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+16x-3=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$12x^{2}+16x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Menolak -3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$12x^{2}+16x=-\left(-3\right)$$

Tolak -3 daripada 0.

$$12x^{2}+16x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$\frac{12x^{2}+16x}{12}=\frac{3}{12}$$

Membahagi dengan 12 membuat asal pendaraban dengan 12.

$$x^{2}+\frac{16}{12}x=\frac{3}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{16}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{3}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{3}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{4}$$

Bahagikan \frac{4}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{2}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{2}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{4}+\frac{4}{9}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada \frac{4}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{6} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{6}$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{6} x=-\frac{3}{2}$$