Selesaikan 12t^2-7t-10

$$12 t ^ { 2 } - 7 t - 10$$

Faktor

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 12t^{2}+at+bt-10. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=12\left(-10\right)=-120$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-15 b=8$$

Tulis semula 12t^{2}-7t-10 sebagai \left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right).

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right)$$

Faktorkan 3t dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$3t\left(4t-5\right)+2\left(4t-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 4t-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$12t^{2}-7t-10=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Kuasa dua -7.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -48 kali -10.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 12}$$

Tambahkan 49 pada 480.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua 529.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 12}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$t=\frac{7±23}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$t=\frac{7±23}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{7±23}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 23.

$$t=\frac{30}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{30}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$t=\frac{5}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{7±23}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 23 daripada 7.

$$t=-\frac{16}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-16}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$t=-\frac{2}{3}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{5}{4} dengan x_{1} dan -\frac{2}{3} dengan x_{2}.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Tolak \frac{5}{4} daripada t dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada t dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\times \frac{3t+2}{3}$$

Darabkan \frac{4t-5}{4} dengan \frac{3t+2}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{4\times 3}$$

Darabkan 4 kali 3.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{12}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 12 dalam 12 dan 12.

$$12t^{2}-7t-10=\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Nilaikan

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$