Selesaikan 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Selesaikan untuk r

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 12r^{2}+ar+br-15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -11.

$$a=-20 b=9$$

Tulis semula 12r^{2}-11r-15 sebagai \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Faktorkan 4r dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3r-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3r-5=0 dan 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 12 dengan a, -11 dengan b dan -15 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Kuasa dua -11.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -48 kali -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Tambahkan 121 pada 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

Nombor bertentangan -11 ialah 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan r=\frac{11±29}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan 11 pada 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{40}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$r=\frac{5}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan r=\frac{11±29}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 29 daripada 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-18}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Menolak -15 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Tolak -15 daripada 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

Membahagi dengan 12 membuat asal pendaraban dengan 12.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{15}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Bahagikan -\frac{11}{12} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{24}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{11}{24} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{11}{24} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada \frac{121}{576} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Faktor r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Permudahkan.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Tambahkan \frac{11}{24} pada kedua-dua belah persamaan.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$