Selesaikan 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Selesaikan untuk n

$$n=6$$

$$n=15$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 12 dengan n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Tolak 30 daripada -48 untuk mendapatkan -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Tolak n^{2} daripada kedua-dua belah.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Tambahkan 9n pada kedua-dua belah.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Gabungkan 12n dan 9n untuk mendapatkan 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Tolak 12 daripada -78 untuk mendapatkan -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -n^{2}+an+bn-90. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 21.

$$a=15 b=6$$

Tulis semula -n^{2}+21n-90 sebagai \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Faktorkan -n dalam kumpulan pertama dan 6 dalam kumpulan kedua.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Faktorkan sebutan lazim n-15 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-15=0 dan -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 12 dengan n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Tolak 30 daripada -48 untuk mendapatkan -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Tolak n^{2} daripada kedua-dua belah.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Tambahkan 9n pada kedua-dua belah.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Gabungkan 12n dan 9n untuk mendapatkan 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Tolak 12 daripada -78 untuk mendapatkan -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 21 dengan b dan -90 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 21.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 441 pada -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-21±9}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -21 pada 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Bahagikan -12 dengan -2.

$$n=6$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-21±9}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 9 daripada -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Bahagikan -30 dengan -2.

$$n=15$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=6 n=15$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 12 dengan n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Tolak 30 daripada -48 untuk mendapatkan -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Tolak n^{2} daripada kedua-dua belah.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Tambahkan 9n pada kedua-dua belah.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Gabungkan 12n dan 9n untuk mendapatkan 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Tambahkan 78 pada kedua-dua belah.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Tambahkan 12 dan 78 untuk dapatkan 90.

$$21n-n^{2}=90$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Bahagikan 21 dengan -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Bahagikan 90 dengan -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Bahagikan -21 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{21}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{21}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{21}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Tambahkan -90 pada \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor n^{2}-21n+\frac{441}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Permudahkan.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Tambahkan \frac{21}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$n=15 n=6$$