Selesaikan 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Faktor

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 12z^{2}+az+bz-12. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-16 b=9$$

Tulis semula 12z^{2}-7z-12 sebagai \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Faktorkan 4z dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3z-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Kuasa dua -7.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -48 kali -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Tambahkan 49 pada 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{7±25}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{32}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$z=\frac{4}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{7±25}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 25 daripada 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-18}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{4}{3} dengan x_{1} dan -\frac{3}{4} dengan x_{2}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Tolak \frac{4}{3} daripada z dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada z dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Darabkan \frac{3z-4}{3} dengan \frac{4z+3}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Darabkan 3 kali 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 12 dalam 12 dan 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Nilaikan

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$