Selesaikan 12y^2-28y+15

$$12 { y }^{ 2 } -28y+15$$

Faktor

$$\left(2y-3\right)\left(6y-5\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 12y^{2}+ay+by+15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-28 ab=12\times 15=180$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 180.

$$-1,-180 -2,-90 -3,-60 -4,-45 -5,-36 -6,-30 -9,-20 -10,-18 -12,-15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-180=-181 -2-90=-92 -3-60=-63 -4-45=-49 -5-36=-41 -6-30=-36 -9-20=-29 -10-18=-28 -12-15=-27$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -28.

$$a=-18 b=-10$$

Tulis semula 12y^{2}-28y+15 sebagai \left(12y^{2}-18y\right)+\left(-10y+15\right).

$$\left(12y^{2}-18y\right)+\left(-10y+15\right)$$

Faktorkan 6y dalam kumpulan pertama dan -5 dalam kumpulan kedua.

$$6y\left(2y-3\right)-5\left(2y-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2y-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2y-3\right)\left(6y-5\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$12y^{2}-28y+15=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 12\times 15}}{2\times 12}$$

Kuasa dua -28.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 12\times 15}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-48\times 15}}{2\times 12}$$

Darabkan -48 kali 15.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-720}}{2\times 12}$$

Tambahkan 784 pada -720.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{64}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua 64.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±8}{2\times 12}$$

Nombor bertentangan -28 ialah 28.

$$y=\frac{28±8}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$y=\frac{28±8}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{28±8}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan 28 pada 8.

$$y=\frac{36}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{36}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 12.

$$y=\frac{3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{28±8}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 8 daripada 28.

$$y=\frac{20}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{20}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$y=\frac{5}{6}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{3}{2} dengan x_{1} dan \frac{5}{6} dengan x_{2}.

$$12y^{2}-28y+15=12\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{5}{6}\right)$$

Tolak \frac{3}{2} daripada y dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$12y^{2}-28y+15=12\times \frac{2y-3}{2}\left(y-\frac{5}{6}\right)$$

Tolak \frac{5}{6} daripada y dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$12y^{2}-28y+15=12\times \frac{2y-3}{2}\times \frac{6y-5}{6}$$

Darabkan \frac{2y-3}{2} dengan \frac{6y-5}{6} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$12y^{2}-28y+15=12\times \frac{\left(2y-3\right)\left(6y-5\right)}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$12y^{2}-28y+15=12\times \frac{\left(2y-3\right)\left(6y-5\right)}{12}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 12 dalam 12 dan 12.

$$12y^{2}-28y+15=\left(2y-3\right)\left(6y-5\right)$$

Nilaikan

$$\left(2y-3\right)\left(6y-5\right)$$