Selesaikan 12x^2-7x+1

$$12 { x }^{ 2 } -7x+1$$

Faktor

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 12x^{2}+ax+bx+1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=12\times 1=12$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-4 b=-3$$

Tulis semula 12x^{2}-7x+1 sebagai \left(12x^{2}-4x\right)+\left(-3x+1\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(-3x+1\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-7x+1=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12}}{2\times 12}$$

Kuasa dua -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 12}$$

Tambahkan 49 pada -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 12}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$x=\frac{7±1}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±1}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 1.

$$x=\frac{8}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{8}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±1}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 1 daripada 7.

$$x=\frac{6}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{6}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=\frac{1}{4}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{1}{3} dengan x_{1} dan \frac{1}{4} dengan x_{2}.

$$12x^{2}-7x+1=12\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

Tolak \frac{1}{3} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{3x-1}{3}\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

Tolak \frac{1}{4} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{4x-1}{4}$$

Darabkan \frac{3x-1}{3} dengan \frac{4x-1}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)}{3\times 4}$$

Darabkan 3 kali 4.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)}{12}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 12 dalam 12 dan 12.

$$12x^{2}-7x+1=\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Nilaikan

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$