Selesaikan 12x^2-5x-3

$$12 { x }^{ 2 } -5x-3$$

Faktor

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 12x^{2}+ax+bx-3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-9 b=4$$

Tulis semula 12x^{2}-5x-3 sebagai \left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right)$$

Faktorkan 3x dalam 12x^{2}-9x.

$$3x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Faktorkan sebutan lazim 4x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Kuasa dua -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -48 kali -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 12}$$

Tambahkan 25 pada 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 12}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$x=\frac{5±13}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±13}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada 13.

$$x=\frac{18}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{18}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±13}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 13 daripada 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-8}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{3}{4} dengan x_{1} dan -\frac{1}{3} dengan x_{2}.

$$12x^{2}-5x-3=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$12x^{2}-5x-3=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)$$

Tolak \frac{3}{4} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$12x^{2}-5x-3=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{1}{3}\right)$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$12x^{2}-5x-3=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+1}{3}$$

Darabkan \frac{4x-3}{4} dengan \frac{3x+1}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$12x^{2}-5x-3=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)}{4\times 3}$$

Darabkan 4 kali 3.

$$12x^{2}-5x-3=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)}{12}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 12 dalam 12 dan 12.

$$12x^{2}-5x-3=\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Nilaikan

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$