Selesaikan 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 12x^{2}+ax+bx+5. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 32.

$$a=2 b=30$$

Tulis semula 12x^{2}+32x+5 sebagai \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right).

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 6x+1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 6x+1=0 dan 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 12 dengan a, 32 dengan b dan 5 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Kuasa dua 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Darabkan -48 kali 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Tambahkan 1024 pada -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-32±28}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan -32 pada 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-4}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-32±28}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 28 daripada -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-60}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

Menolak 5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Membahagi dengan 12 membuat asal pendaraban dengan 12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{32}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Bahagikan \frac{8}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{4}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{4}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{4}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Tambahkan -\frac{5}{12} pada \frac{16}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Tolak \frac{4}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$