Selesaikan 12x^2+13x-14=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x-14 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 12x^{2}+ax+bx-14. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=13 ab=12\left(-14\right)=-168$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 13.

$$a=-8 b=21$$

Tulis semula 12x^{2}+13x-14 sebagai \left(12x^{2}-8x\right)+\left(21x-14\right).

$$\left(12x^{2}-8x\right)+\left(21x-14\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(3x-2\right)+7\left(3x-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-2\right)\left(4x+7\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-2=0 dan 4x+7=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$12x^{2}+13x-14=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 12 dengan a, 13 dengan b dan -14 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\left(-14\right)}}{2\times 12}$$

Kuasa dua 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\left(-14\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\left(-14\right)}}{2\times 12}$$

Darabkan -48 kali -14.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+672}}{2\times 12}$$

Tambahkan 169 pada 672.

$$x=\frac{-13±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua 841.

$$x=\frac{-13±29}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$x=\frac{-13±29}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-13±29}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan -13 pada 29.

$$x=\frac{16}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{16}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=\frac{2}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-13±29}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 29 daripada -13.

$$x=-\frac{42}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-42}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x-14=0$$

Tambahkan 14 pada kedua-dua belah persamaan.

$$12x^{2}+13x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Menolak -14 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$12x^{2}+13x=-\left(-14\right)$$

Tolak -14 daripada 0.

$$12x^{2}+13x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=\frac{14}{12}$$

Membahagi dengan 12 membuat asal pendaraban dengan 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=\frac{14}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{14}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=\frac{7}{6}$$

Bahagikan \frac{13}{12} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{13}{24}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{13}{24} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{13}{24} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{7}{6}+\frac{169}{576}$$

Tambahkan \frac{7}{6} pada \frac{169}{576} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{841}{576}$$

Faktor x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{29}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{29}{24}$$

Tolak \frac{13}{24} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{7}{4}$$