Selesaikan 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 12x^{2}+ax+bx+3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 13.

$$a=4 b=9$$

Tulis semula 12x^{2}+13x+3 sebagai \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x+1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x+1=0 dan 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 12 dengan a, 13 dengan b dan 3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Kuasa dua 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Darabkan -4 kali 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Darabkan -48 kali 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Tambahkan 169 pada -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Ambil punca kuasa dua 25.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Darabkan 2 kali 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-13±5}{24} apabila ± ialah plus. Tambahkan -13 pada 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-8}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-13±5}{24} apabila ± ialah minus. Tolak 5 daripada -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Kurangkan pecahan \frac{-18}{24} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

Menolak 3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

Membahagi dengan 12 membuat asal pendaraban dengan 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-3}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Bahagikan \frac{13}{12} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{13}{24}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{13}{24} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{13}{24} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Tambahkan -\frac{1}{4} pada \frac{169}{576} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Faktor x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Tolak \frac{13}{24} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$