Selesaikan 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Selesaikan untuk y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 3y^{2} daripada kedua-dua belah.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -3y^{2}+ay+by+4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 11.

$$a=12 b=-1$$

Tulis semula -3y^{2}+11y+4 sebagai \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Faktorkan 3y dalam -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Faktorkan sebutan lazim -y+4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan -y+4=0 dan 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Tolak 3y^{2} daripada kedua-dua belah.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -3 dengan a, 11 dengan b dan 4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Kuasa dua 11.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan -4 kali -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan 12 kali 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Tambahkan 121 pada 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan 2 kali -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{-11±13}{-6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -11 pada 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Kurangkan pecahan \frac{2}{-6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{-11±13}{-6} apabila ± ialah minus. Tolak 13 daripada -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Bahagikan -24 dengan -6.

$$y=4$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Tolak 3y^{2} daripada kedua-dua belah.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Membahagi dengan -3 membuat asal pendaraban dengan -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Bahagikan 11 dengan -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Bahagikan -4 dengan -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Bahagikan -\frac{11}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{11}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{11}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada \frac{121}{36} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktor y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Permudahkan.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Tambahkan \frac{11}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$