Selesaikan 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0.454545455+0.987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0.454545455-0.987525499i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 11 dengan a, -10 dengan b dan 13 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Kuasa dua -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Darabkan -4 kali 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Darabkan -44 kali 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Tambahkan 100 pada -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Ambil punca kuasa dua -472.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Nombor bertentangan -10 ialah 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Darabkan 2 kali 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} apabila ± ialah plus. Tambahkan 10 pada 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Bahagikan 10+2i\sqrt{118} dengan 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{118} daripada 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Bahagikan 10-2i\sqrt{118} dengan 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Tolak 13 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

Menolak 13 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

Membahagi dengan 11 membuat asal pendaraban dengan 11.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Bahagikan -\frac{10}{11} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{11}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{11} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{11} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Tambahkan -\frac{13}{11} pada \frac{25}{121} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Faktor x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Tambahkan \frac{5}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$