Selesaikan 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 10x^{2}+ax+bx-12. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 7.

$$a=-8 b=15$$

Tulis semula 10x^{2}+7x-12 sebagai \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 5x-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 5x-4=0 dan 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 10 dengan a, 7 dengan b dan -12 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Kuasa dua 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Darabkan -4 kali 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Darabkan -40 kali -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Tambahkan 49 pada 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Ambil punca kuasa dua 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Darabkan 2 kali 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-7±23}{20} apabila ± ialah plus. Tambahkan -7 pada 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Kurangkan pecahan \frac{16}{20} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-7±23}{20} apabila ± ialah minus. Tolak 23 daripada -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Kurangkan pecahan \frac{-30}{20} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Menolak -12 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Tolak -12 daripada 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Membahagi dengan 10 membuat asal pendaraban dengan 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Kurangkan pecahan \frac{12}{10} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Bahagikan \frac{7}{10} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{7}{20}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{7}{20} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{7}{20} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Tambahkan \frac{6}{5} pada \frac{49}{400} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Tolak \frac{7}{20} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$