Selesaikan 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Selesaikan untuk k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 10k^{2}+ak+bk-1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -10.

$$-1,10 -2,5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 9.

$$a=-1 b=10$$

Tulis semula 10k^{2}+9k-1 sebagai \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Faktorkan k dalam 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Faktorkan sebutan lazim 10k-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 10k-1=0 dan k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 10 dengan a, 9 dengan b dan -1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Kuasa dua 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Darabkan -4 kali 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Darabkan -40 kali -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Tambahkan 81 pada 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Darabkan 2 kali 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Sekarang selesaikan persamaan k=\frac{-9±11}{20} apabila ± ialah plus. Tambahkan -9 pada 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Kurangkan pecahan \frac{2}{20} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan k=\frac{-9±11}{20} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Bahagikan -20 dengan 20.

$$k=-1$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Menolak -1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Tolak -1 daripada 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Membahagi dengan 10 membuat asal pendaraban dengan 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Bahagikan \frac{9}{10} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{9}{20}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{9}{20} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{9}{20} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Tambahkan \frac{1}{10} pada \frac{81}{400} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Faktor k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Permudahkan.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Tolak \frac{9}{20} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$