Selesaikan 10x^2-7x-3=0

$$10 { x }^{ 2 } -7x-3 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{3}{10}=-0.3$$

$$x=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 10x^{2}+ax+bx-3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=10\left(-3\right)=-30$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-10 b=3$$

Tulis semula 10x^{2}-7x-3 sebagai \left(10x^{2}-10x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(10x^{2}-10x\right)+\left(3x-3\right)$$

Faktorkan 10x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$10x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-1\right)\left(10x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-1=0 dan 10x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$10x^{2}-7x-3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 10 dengan a, -7 dengan b dan -3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Kuasa dua -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Darabkan -4 kali 10.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Darabkan -40 kali -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\times 10}$$

Tambahkan 49 pada 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\times 10}$$

Ambil punca kuasa dua 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\times 10}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$x=\frac{7±13}{2\times 10}$$

Darabkan 2 kali 10.

$$x=\frac{7±13}{20}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±13}{20} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 13.

$$x=\frac{20}{20}$$

Bahagikan 20 dengan 20.

$$x=1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±13}{20} apabila ± ialah minus. Tolak 13 daripada 7.

$$x=-\frac{6}{20}$$

Kurangkan pecahan \frac{-6}{20} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{3}{10}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-7x-3=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$10x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Menolak -3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$10x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Tolak -3 daripada 0.

$$10x^{2}-7x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$\frac{10x^{2}-7x}{10}=\frac{3}{10}$$

Membahagi dengan 10 membuat asal pendaraban dengan 10.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x=\frac{3}{10}$$

Bahagikan -\frac{7}{10} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{20}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{20} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\left(-\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{3}{10}+\left(-\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{20} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{3}{10}+\frac{49}{400}$$

Tambahkan \frac{3}{10} pada \frac{49}{400} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{169}{400}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{169}{400}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{400}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{20}=\frac{13}{20} x-\frac{7}{20}=-\frac{13}{20}$$

Tambahkan \frac{7}{20} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$