Selesaikan 10^2+x^2=8^2-(12-x)^2

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7.348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7.348469228i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Kira 10 dikuasakan 2 dan dapatkan 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Kira 8 dikuasakan 2 dan dapatkan 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(12-x\right)^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 144-24x+x^{2}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Tolak 144 daripada 64 untuk mendapatkan -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Tolak -80 daripada kedua-dua belah.

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

Nombor bertentangan -80 ialah 80.

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

Tolak 24x daripada kedua-dua belah.

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

Tambahkan 100 dan 80 untuk dapatkan 180.

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

Tambahkan x^{2} pada kedua-dua belah.

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$180+2x^{2}-24x=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-24x+180=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -24 dengan b dan 180 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali 180.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

Tambahkan 576 pada -1440.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua -864.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -24 ialah 24.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 24 pada 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

Bahagikan 24+12i\sqrt{6} dengan 4.

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 12i\sqrt{6} daripada 24.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

Bahagikan 24-12i\sqrt{6} dengan 4.

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Kira 10 dikuasakan 2 dan dapatkan 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Kira 8 dikuasakan 2 dan dapatkan 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(12-x\right)^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 144-24x+x^{2}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Tolak 144 daripada 64 untuk mendapatkan -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Tolak 24x daripada kedua-dua belah.

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

Tambahkan x^{2} pada kedua-dua belah.

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

Tolak 100 daripada kedua-dua belah.

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

Tolak 100 daripada -80 untuk mendapatkan -180.

$$2x^{2}-24x=-180$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

Bahagikan -24 dengan 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

Bahagikan -180 dengan 2.

$$x^{2}-12x=-90$$

Bahagikan -12 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -6. Kemudian tambahkan kuasa dua -6 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

Kuasa dua -6.

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

Tambahkan -90 pada 36.

$$x^{2}-12x+36=-54$$

Faktor x^{2}-12x+36. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

Permudahkan.

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$