Selesaikan -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2.5-2.34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2.5+2.34520788i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -4 dengan a, 20 dengan b dan -47 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kuasa dua 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Darabkan -4 kali -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Darabkan 16 kali -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Tambahkan 400 pada -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Ambil punca kuasa dua -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Darabkan 2 kali -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -20 pada 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Bahagikan -20+4i\sqrt{22} dengan -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} apabila ± ialah minus. Tolak 4i\sqrt{22} daripada -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Bahagikan -20-4i\sqrt{22} dengan -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Tambahkan 47 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Menolak -47 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Tolak -47 daripada 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Membahagi dengan -4 membuat asal pendaraban dengan -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Bahagikan 20 dengan -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Bahagikan 47 dengan -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Bahagikan -5 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Tambahkan -\frac{47}{4} pada \frac{25}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$