Selesaikan -4a^2-3a+1=0

$$-4 { a }^{ 2 } -3a+1 = 0$$

Selesaikan untuk a

$$a=\frac{1}{4}=0.25$$

$$a=-1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -4a^{2}+aa+ba+1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -4.

$$1,-4 2,-2$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -3.

$$a=1 b=-4$$

Tulis semula -4a^{2}-3a+1 sebagai \left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right).

$$\left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right)$$

Faktorkan -a dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$-a\left(4a-1\right)-\left(4a-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 4a-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4a-1\right)\left(-a-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 4a-1=0 dan -a-1=0.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -4 dengan a, -3 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kuasa dua -3.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Darabkan -4 kali -4.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

Tambahkan 9 pada 16.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 25.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

Nombor bertentangan -3 ialah 3.

$$a=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

Darabkan 2 kali -4.

$$a=\frac{3±5}{-8}$$

Sekarang selesaikan persamaan a=\frac{3±5}{-8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 3 pada 5.

$$a=\frac{8}{-8}$$

Bahagikan 8 dengan -8.

$$a=-1$$

Sekarang selesaikan persamaan a=\frac{3±5}{-8} apabila ± ialah minus. Tolak 5 daripada 3.

$$a=-\frac{2}{-8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-2}{-8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$a=\frac{1}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$a=-1 a=\frac{1}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4a^{2}-3a+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-4a^{2}-3a=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$\frac{-4a^{2}-3a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Membahagi dengan -4 membuat asal pendaraban dengan -4.

$$a^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

Bahagikan -3 dengan -4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

Bahagikan -1 dengan -4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}$$

Bahagikan \frac{3}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada \frac{9}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Faktor a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Permudahkan.

$$a+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} a+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Tolak \frac{3}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$