Selesaikan -3x^2-8x+16=0

$$-3 { x }^{ 2 } -8x+16=0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$x=-4$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -3x^{2}+ax+bx+16. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-8 ab=-3\times 16=-48$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -8.

$$a=4 b=-12$$

Tulis semula -3x^{2}-8x+16 sebagai \left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan -4 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-4=0 dan -x-4=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -3 dengan a, -8 dengan b dan 16 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Kuasa dua -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan -4 kali -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan 12 kali 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\left(-3\right)}$$

Tambahkan 64 pada 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\left(-3\right)}$$

Nombor bertentangan -8 ialah 8.

$$x=\frac{8±16}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan 2 kali -3.

$$x=\frac{8±16}{-6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{8±16}{-6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 8 pada 16.

$$x=\frac{24}{-6}$$

Bahagikan 24 dengan -6.

$$x=-4$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{8±16}{-6} apabila ± ialah minus. Tolak 16 daripada 8.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-8}{-6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-4 x=\frac{4}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x^{2}-8x+16-16=-16$$

Menolak 16 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-3x^{2}-8x=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{16}{-3}$$

Membahagi dengan -3 membuat asal pendaraban dengan -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{16}{-3}$$

Bahagikan -8 dengan -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{16}{-3}$$

Bahagikan -16 dengan -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{16}{3}$$

Bahagikan \frac{8}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{4}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{4}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{4}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{16}{3}+\frac{16}{9}$$

Tambahkan \frac{16}{3} pada \frac{16}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{64}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Tolak \frac{4}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$