Selesaikan -x^2+40x=384

$$- x ^ { 2 } + 40 x = 384$$

Selesaikan untuk x

$$x=16$$

$$x=24$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 384 daripada kedua-dua belah.

$$-x^{2}+40x-384=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -x^{2}+ax+bx-384. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=40 ab=-\left(-384\right)=384$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 384.

$$1,384 2,192 3,128 4,96 6,64 8,48 12,32 16,24$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+384=385 2+192=194 3+128=131 4+96=100 6+64=70 8+48=56 12+32=44 16+24=40$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 40.

$$a=24 b=16$$

Tulis semula -x^{2}+40x-384 sebagai \left(-x^{2}+24x\right)+\left(16x-384\right).

$$\left(-x^{2}+24x\right)+\left(16x-384\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan 16 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(x-24\right)+16\left(x-24\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-24 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-24\right)\left(-x+16\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-24=0 dan -x+16=0.

$$x=24 x=16$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+40x=384$$

Tolak 384 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x^{2}+40x-384=384-384$$

Menolak 384 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-x^{2}+40x-384=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 40 dengan b dan -384 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-1\right)\left(-384\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 40.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\left(-384\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+4\left(-384\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali -384.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-1536}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 1600 pada -1536.

$$x=\frac{-40±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 64.

$$x=\frac{-40±8}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-40±8}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-40±8}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -40 pada 8.

$$x=-\frac{32}{-2}$$

Bahagikan -32 dengan -2.

$$x=16$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-40±8}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 8 daripada -40.

$$x=-\frac{48}{-2}$$

Bahagikan -48 dengan -2.

$$x=24$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=16 x=24$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+40x=384$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-x^{2}+40x}{-1}=\frac{384}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$x^{2}+\frac{40}{-1}x=\frac{384}{-1}$$

Bahagikan 40 dengan -1.

$$x^{2}-40x=\frac{384}{-1}$$

Bahagikan 384 dengan -1.

$$x^{2}-40x=-384$$

Bahagikan -40 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -20. Kemudian tambahkan kuasa dua -20 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=-384+\left(-20\right)^{2}$$

Kuasa dua -20.

$$x^{2}-40x+400=-384+400$$

Tambahkan -384 pada 400.

$$x^{2}-40x+400=16$$

Faktor x^{2}-40x+400. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-20\right)^{2}=16$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Permudahkan.

$$x-20=4 x-20=-4$$

Tambahkan 20 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=24 x=16$$