Selesaikan -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-3$$

$$x=5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -x^{2}+ax+bx+15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -15.

$$-1,15 -3,5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 2.

$$a=5 b=-3$$

Tulis semula -x^{2}+2x+15 sebagai \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan -3 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-5=0 dan -x-3=0.

$$x=5 x=-3$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 2 dengan b dan 15 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 4 pada 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 64.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-2±8}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -2 pada 8.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Bahagikan 6 dengan -2.

$$x=-3$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-2±8}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 8 daripada -2.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Bahagikan -10 dengan -2.

$$x=5$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-3 x=5$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

Menolak 15 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-x^{2}+2x=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

Bahagikan 2 dengan -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

Bahagikan -15 dengan -1.

$$x^{2}-2x=15$$

Bahagikan -2 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -1. Kemudian tambahkan kuasa dua -1 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Tambahkan 15 pada 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Faktor x^{2}-2x+1. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Permudahkan.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5 x=-3$$