Selesaikan -7y-y^2=-18

$$- 7 y - y ^ { 2 } = - 18$$

Selesaikan untuk y

$$y=-9$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah.

$$-7y-y^{2}+18=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-y^{2}-7y+18=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -y^{2}+ay+by+18. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=-18=-18$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=2 b=-9$$

Tulis semula -y^{2}-7y+18 sebagai \left(-y^{2}+2y\right)+\left(-9y+18\right).

$$\left(-y^{2}+2y\right)+\left(-9y+18\right)$$

Faktorkan y dalam kumpulan pertama dan 9 dalam kumpulan kedua.

$$y\left(-y+2\right)+9\left(-y+2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim -y+2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(-y+2\right)\left(y+9\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan -y+2=0 dan y+9=0.

$$y=2 y=-9$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-y^{2}-7y=-18$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-y^{2}-7y-\left(-18\right)=-18-\left(-18\right)$$

Menolak -18 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-y^{2}-7y-\left(-18\right)=0$$

Tolak -18 daripada 0.

$$-y^{2}-7y+18=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, -7 dengan b dan 18 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua -7.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali 18.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 49 pada 72.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\left(-1\right)}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$y=\frac{7±11}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$y=\frac{7±11}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{7±11}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 11.

$$y=\frac{18}{-2}$$

Bahagikan 18 dengan -2.

$$y=-9$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{7±11}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada 7.

$$y=-\frac{4}{-2}$$

Bahagikan -4 dengan -2.

$$y=2$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$y=-9 y=2$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}-7y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-y^{2}-7y}{-1}=-\frac{18}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$y^{2}+\left(-\frac{7}{-1}\right)y=-\frac{18}{-1}$$

Bahagikan -7 dengan -1.

$$y^{2}+7y=-\frac{18}{-1}$$

Bahagikan -18 dengan -1.

$$y^{2}+7y=18$$

Bahagikan 7 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{7}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{7}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$y^{2}+7y+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=18+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{7}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$y^{2}+7y+\frac{49}{4}=18+\frac{49}{4}$$

Tambahkan 18 pada \frac{49}{4}.

$$y^{2}+7y+\frac{49}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor y^{2}+7y+\frac{49}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Permudahkan.

$$y+\frac{7}{2}=\frac{11}{2} y+\frac{7}{2}=-\frac{11}{2}$$

Tolak \frac{7}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2 y=-9$$