Selesaikan -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=4$$

$$x=13$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -x^{2}+ax+bx-52. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 17.

$$a=13 b=4$$

Tulis semula -x^{2}+17x-52 sebagai \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-13 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-13=0 dan -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -3 dengan a, 51 dengan b dan -156 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kuasa dua 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan -4 kali -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan 12 kali -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Tambahkan 2601 pada -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan 2 kali -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-51±27}{-6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -51 pada 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Bahagikan -24 dengan -6.

$$x=4$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-51±27}{-6} apabila ± ialah minus. Tolak 27 daripada -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Bahagikan -78 dengan -6.

$$x=13$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=4 x=13$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Tambahkan 156 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Menolak -156 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Tolak -156 daripada 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Membahagi dengan -3 membuat asal pendaraban dengan -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Bahagikan 51 dengan -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Bahagikan 156 dengan -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Bahagikan -17 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{17}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{17}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{17}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Tambahkan -52 pada \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Tambahkan \frac{17}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=13 x=4$$