Selesaikan -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

Selesaikan untuk x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Darab ketidaksamaan tersebut dengan -1 untuk menjadikan pekali kuasa tertinggi dalam -3x^{2}+5x+2 positif. Oleh sebab -1 adalah negatif, arah ketaksamaan berubah.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, faktorkan yang di sebelah kiri. Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 3 untuk a, -5 untuk b dan -2 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

Selesaikan persamaan x=\frac{5±7}{6} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Tulis semula ketidaksamaan tersebut dengan menggunakan penyelesaian diperolehi.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

Untuk hasil itu menjadi ≤0, salah satu daripada nilai x-2 dan x+\frac{1}{3} perlulah ≥0 dan yang satu lagi perlulah ≤0. Pertimbangkan kes apabila x-2\geq 0 dan x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Ini adalah palsu untuk sebarang x.

$$x\in \emptyset$$

Pertimbangkan kes apabila x-2\leq 0 dan x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

Penyelesaian yang memuaskan kedua-dua ketidaksamaan adalah x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Penyelesaian terakhir adalah kesatuan penyelesaian yang diperolehi.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$