Selesaikan -2x^2+47x+5=275

$$- 2 x ^ { 2 } + 47 x + 5 = 275$$

Selesaikan untuk x

$$x=10$$

$$x = \frac{27}{2} = 13\frac{1}{2} = 13.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 275 daripada kedua-dua belah.

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

Tolak 275 daripada 5 untuk mendapatkan -270.

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -2x^{2}+ax+bx-270. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=47 ab=-2\left(-270\right)=540$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 540.

$$1,540 2,270 3,180 4,135 5,108 6,90 9,60 10,54 12,45 15,36 18,30 20,27$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+540=541 2+270=272 3+180=183 4+135=139 5+108=113 6+90=96 9+60=69 10+54=64 12+45=57 15+36=51 18+30=48 20+27=47$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 47.

$$a=27 b=20$$

Tulis semula -2x^{2}+47x-270 sebagai \left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right).

$$\left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan 10 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(2x-27\right)+10\left(2x-27\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-27 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-27\right)\left(-x+10\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-27=0 dan -x+10=0.

$$x=\frac{27}{2} x=10$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

Tolak 275 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x^{2}+47x+5-275=275-275$$

Menolak 275 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

Tolak 275 daripada 5.

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -2 dengan a, 47 dengan b dan -270 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kuasa dua 47.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Darabkan -4 kali -2.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209+8\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Darabkan 8 kali -270.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-2160}}{2\left(-2\right)}$$

Tambahkan 2209 pada -2160.

$$x=\frac{-47±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$x=\frac{-47±7}{2\left(-2\right)}$$

Darabkan 2 kali -2.

$$x=\frac{-47±7}{-4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-47±7}{-4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -47 pada 7.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

Bahagikan -40 dengan -4.

$$x=10$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-47±7}{-4} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada -47.

$$x=-\frac{54}{-4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-54}{-4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{27}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=10 x=\frac{27}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x^{2}+47x+5-5=275-5$$

Menolak 5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-2x^{2}+47x=275-5$$

Tolak 5 daripada 275.

$$-2x^{2}+47x=270$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$\frac{-2x^{2}+47x}{-2}=\frac{270}{-2}$$

Membahagi dengan -2 membuat asal pendaraban dengan -2.

$$x^{2}+\frac{47}{-2}x=\frac{270}{-2}$$

Bahagikan 47 dengan -2.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=\frac{270}{-2}$$

Bahagikan 270 dengan -2.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=-135$$

Bahagikan -\frac{47}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{47}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{47}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}=-135+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{47}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=-135+\frac{2209}{16}$$

Tambahkan -135 pada \frac{2209}{16}.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{47}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{47}{4}=-\frac{7}{4}$$

Tambahkan \frac{47}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{27}{2} x=10$$