Selesaikan -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -2x^{2}+ax+bx+24. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 13.

$$a=16 b=-3$$

Tulis semula -2x^{2}+13x+24 sebagai \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

Faktorkan sebutan lazim -x+8 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan -x+8=0 dan 2x+3=0.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -2 dengan a, 13 dengan b dan 24 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Kuasa dua 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Darabkan -4 kali -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Darabkan 8 kali 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

Tambahkan 169 pada 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

Darabkan 2 kali -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-13±19}{-4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -13 pada 19.

$$x=\frac{6}{-4}$$

Kurangkan pecahan \frac{6}{-4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-13±19}{-4} apabila ± ialah minus. Tolak 19 daripada -13.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Bahagikan -32 dengan -4.

$$x=8$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

Menolak 24 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

Membahagi dengan -2 membuat asal pendaraban dengan -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

Bahagikan 13 dengan -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

Bahagikan -24 dengan -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

Bahagikan -\frac{13}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{13}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{13}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{13}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Tambahkan 12 pada \frac{169}{16}.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Tambahkan \frac{13}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$