Selesaikan -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Faktor

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan 4.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Pertimbangkan -4t^{2}+24t-27. Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai -4t^{2}+at+bt-27. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 24.

$$a=18 b=6$$

Tulis semula -4t^{2}+24t-27 sebagai \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Faktorkan -2t dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2t-9 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Tulis semula ungkapan difaktorkan yang lengkap.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kuasa dua 96.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Darabkan -4 kali -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Darabkan 64 kali -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Tambahkan 9216 pada -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Darabkan 2 kali -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{-96±48}{-32} apabila ± ialah plus. Tambahkan -96 pada 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Kurangkan pecahan \frac{-48}{-32} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{-96±48}{-32} apabila ± ialah minus. Tolak 48 daripada -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Kurangkan pecahan \frac{-144}{-32} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{3}{2} dengan x_{1} dan \frac{9}{2} dengan x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Tolak \frac{3}{2} daripada t dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Tolak \frac{9}{2} daripada t dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Darabkan \frac{-2t+3}{-2} dengan \frac{-2t+9}{-2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Darabkan -2 kali -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 4 dalam -16 dan 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Nilaikan

$$-16t^{2}+96t-108$$