Selesaikan -x^2+7x-10=0

$$- { x }^{ 2 } +7x-10 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=2$$

$$x=5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -x^{2}+ax+bx-10. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 10.

$$1,10 2,5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+10=11 2+5=7$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 7.

$$a=5 b=2$$

Tulis semula -x^{2}+7x-10 sebagai \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-5=0 dan -x+2=0.

$$x=5 x=2$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 7 dengan b dan -10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali -10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 49 pada -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-7±3}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -7 pada 3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Bahagikan -4 dengan -2.

$$x=2$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-7±3}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 3 daripada -7.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Bahagikan -10 dengan -2.

$$x=5$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=2 x=5$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Menolak -10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

Tolak -10 daripada 0.

$$-x^{2}+7x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

Bahagikan 7 dengan -1.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

Bahagikan 10 dengan -1.

$$x^{2}-7x=-10$$

Bahagikan -7 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Tambahkan -10 pada \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Tambahkan \frac{7}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5 x=2$$