Selesaikan -x^2+45x-200=124

$$- { x }^{ 2 } +45x-200=124$$

Selesaikan untuk x

$$x=9$$

$$x=36$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 124 daripada kedua-dua belah.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Tolak 124 daripada -200 untuk mendapatkan -324.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -x^{2}+ax+bx-324. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=45 ab=-\left(-324\right)=324$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 324.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 45.

$$a=36 b=9$$

Tulis semula -x^{2}+45x-324 sebagai \left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right).

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan 9 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(x-36\right)+9\left(x-36\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-36 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-36\right)\left(-x+9\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-36=0 dan -x+9=0.

$$x=36 x=9$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Tolak 124 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x^{2}+45x-200-124=124-124$$

Menolak 124 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Tolak 124 daripada -200.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 45 dengan b dan -324 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 45.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali -324.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-1296}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 2025 pada -1296.

$$x=\frac{-45±\sqrt{729}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 729.

$$x=\frac{-45±27}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-45±27}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-45±27}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -45 pada 27.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

Bahagikan -18 dengan -2.

$$x=9$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-45±27}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 27 daripada -45.

$$x=-\frac{72}{-2}$$

Bahagikan -72 dengan -2.

$$x=36$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=9 x=36$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Tambahkan 200 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x^{2}+45x-200-\left(-200\right)=124-\left(-200\right)$$

Menolak -200 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$-x^{2}+45x=124-\left(-200\right)$$

Tolak -200 daripada 124.

$$-x^{2}+45x=324$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-x^{2}+45x}{-1}=\frac{324}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$x^{2}+\frac{45}{-1}x=\frac{324}{-1}$$

Bahagikan 45 dengan -1.

$$x^{2}-45x=\frac{324}{-1}$$

Bahagikan 324 dengan -1.

$$x^{2}-45x=-324$$

Bahagikan -45 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{45}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{45}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=-324+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{45}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=-324+\frac{2025}{4}$$

Tambahkan -324 pada \frac{2025}{4}.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{729}{4}$$

Faktor x^{2}-45x+\frac{2025}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{27}{2}$$

Tambahkan \frac{45}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=36 x=9$$