Selesaikan -n^2/12+11n/12=-5

$$- \frac { n ^ { 2 } } { 12 } + \frac { 11 n } { 12 } = - 5$$

Selesaikan untuk n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Tambahkan 60 pada kedua-dua belah.

$$-n^{2}+11n+60=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -n^{2}+an+bn+60. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=11 ab=-60=-60$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 11.

$$a=15 b=-4$$

Tulis semula -n^{2}+11n+60 sebagai \left(-n^{2}+15n\right)+\left(-4n+60\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(-4n+60\right)$$

Faktorkan -n dalam kumpulan pertama dan -4 dalam kumpulan kedua.

$$-n\left(n-15\right)-4\left(n-15\right)$$

Faktorkan sebutan lazim n-15 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(n-15\right)\left(-n-4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-15=0 dan -n-4=0.

$$n=15 n=-4$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Tambahkan 60 pada kedua-dua belah.

$$-n^{2}+11n+60=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 11 dengan b dan 60 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 11.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali 60.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 121 pada 240.

$$n=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 361.

$$n=\frac{-11±19}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$n=\frac{-11±19}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-11±19}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -11 pada 19.

$$n=\frac{8}{-2}$$

Bahagikan 8 dengan -2.

$$n=-4$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-11±19}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 19 daripada -11.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Bahagikan -30 dengan -2.

$$n=15$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=-4 n=15$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-n^{2}+11n}{-1}=-\frac{60}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$n^{2}+\frac{11}{-1}n=-\frac{60}{-1}$$

Bahagikan 11 dengan -1.

$$n^{2}-11n=-\frac{60}{-1}$$

Bahagikan -60 dengan -1.

$$n^{2}-11n=60$$

Bahagikan -11 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{11}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{11}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Tambahkan 60 pada \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktor n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Permudahkan.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Tambahkan \frac{11}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$n=15 n=-4$$