Selesaikan (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Selesaikan untuk x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Langkah Penyelesaian

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, faktorkan yang di sebelah kiri. Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, -6 untuk b dan 7 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Selesaikan persamaan x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Tulis semula ketidaksamaan tersebut dengan menggunakan penyelesaian diperolehi.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Untuk hasil itu menjadi negatif, x-\left(\sqrt{2}+3\right) dan x-\left(3-\sqrt{2}\right) perlulah mempunyai tanda yang bertentangan. Pertimbangkan kes apabila x-\left(\sqrt{2}+3\right) adalah positif dan x-\left(3-\sqrt{2}\right) adalah negatif.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Ini adalah palsu untuk sebarang x.

$$x\in \emptyset$$

Pertimbangkan kes apabila x-\left(3-\sqrt{2}\right) adalah positif dan x-\left(\sqrt{2}+3\right) adalah negatif.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Penyelesaian yang memuaskan kedua-dua ketidaksamaan adalah x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Penyelesaian terakhir adalah kesatuan penyelesaian yang diperolehi.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$