Selesaikan (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$x=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Gabungkan x^{2} dan 4x^{2} untuk mendapatkan 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Gabungkan -2x dan 8x untuk mendapatkan 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Tambahkan 1 dan 4 untuk dapatkan 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Tolak 16 daripada 5 untuk mendapatkan -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 5x^{2}+ax+bx-11. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -55.

$$-1,55 -5,11$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 6.

$$a=-5 b=11$$

Tulis semula 5x^{2}+6x-11 sebagai \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Faktorkan 5x dalam kumpulan pertama dan 11 dalam kumpulan kedua.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-1=0 dan 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Gabungkan x^{2} dan 4x^{2} untuk mendapatkan 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Gabungkan -2x dan 8x untuk mendapatkan 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Tambahkan 1 dan 4 untuk dapatkan 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Tolak 16 daripada 5 untuk mendapatkan -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, 6 dengan b dan -11 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Kuasa dua 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Tambahkan 36 pada 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-6±16}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan -6 pada 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Bahagikan 10 dengan 10.

$$x=1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-6±16}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 16 daripada -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Kurangkan pecahan \frac{-22}{10} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Gabungkan x^{2} dan 4x^{2} untuk mendapatkan 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Gabungkan -2x dan 8x untuk mendapatkan 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Tambahkan 1 dan 4 untuk dapatkan 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Tolak 5 daripada 16 untuk mendapatkan 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Bahagikan \frac{6}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Tambahkan \frac{11}{5} pada \frac{9}{25} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Tolak \frac{3}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$