Selesaikan (x^2-6x-16)*sqrt{x-3}=0

$$( x ^ { 2 } - 6 x - 16 ) \cdot \sqrt { x - 3 } = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=3$$

$$x=8$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x^{2}-6x-16 dengan \sqrt{x-3}.

$$x^{2}\sqrt{x-3}-6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3}=0$$

Tolak -6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}\sqrt{x-3}=-\left(-6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3}\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan -6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x^{2}\sqrt{x-3}=6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(x^{2}\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Kembangkan \left(x^{2}\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$\left(x^{2}\right)^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Untuk meningkatkan kuasa kepada kuasa lain, darabkan eksponen. Darab 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$x^{4}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x-3} dikuasakan 2 dan dapatkan x-3.

$$x^{4}\left(x-3\right)=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x^{4} dengan x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+192x\sqrt{x-3}\sqrt{x-3}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Darabkan \sqrt{x-3} dan \sqrt{x-3} untuk mendapatkan \left(\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+192x\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x-3} dikuasakan 2 dan dapatkan x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{2}\left(x-3\right)+192x\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 36x^{2} dengan x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}-108x^{2}+192x\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x-3} dikuasakan 2 dan dapatkan x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}-108x^{2}+192x\left(x-3\right)+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 192x dengan x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}-108x^{2}+192x^{2}-576x+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Gabungkan -108x^{2} dan 192x^{2} untuk mendapatkan 84x^{2}.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-576x+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x-3} dikuasakan 2 dan dapatkan x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-576x+256\left(x-3\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 256 dengan x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-576x+256x-768$$

Gabungkan -576x dan 256x untuk mendapatkan -320x.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-320x-768$$

Tolak 36x^{3} daripada kedua-dua belah.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}=84x^{2}-320x-768$$

Tolak 84x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}=-320x-768$$

Tambahkan 320x pada kedua-dua belah.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}+320x=-768$$

Tambahkan 768 pada kedua-dua belah.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}+320x+768=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 768 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±768,±384,±256,±192,±128,±96,±64,±48,±32,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-2$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}+320x+768 dengan x+2 untuk mendapatkan x^{4}-5x^{3}-26x^{2}-32x+384. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{4}-5x^{3}-26x^{2}-32x+384=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 384 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±384,±192,±128,±96,±64,±48,±32,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=3$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{4}-5x^{3}-26x^{2}-32x+384 dengan x-3 untuk mendapatkan x^{3}-2x^{2}-32x-128. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{3}-2x^{2}-32x-128=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -128 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=8$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{3}-2x^{2}-32x-128 dengan x-8 untuk mendapatkan x^{2}+6x+16. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{2}+6x+16=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, 6 untuk b dan 16 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-28}}{2}$$

Oleh kerana punca kuasa dua nombor negatif tidak ditakrifkan dalam medan sebenar, tiada penyelesaian.

$$x\in \emptyset$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=-2 x=3 x=8$$

Gantikan -2 dengan x dalam persamaan \left(x^{2}-6x-16\right)\sqrt{x-3}=0. Ungkapan \sqrt{-2-3} adalah tidak ditakrif kerana radicand tidak boleh negatif.

$$\left(\left(-2\right)^{2}-6\left(-2\right)-16\right)\sqrt{-2-3}=0$$

Gantikan 3 dengan x dalam persamaan \left(x^{2}-6x-16\right)\sqrt{x-3}=0.

$$\left(3^{2}-6\times 3-16\right)\sqrt{3-3}=0$$

Permudahkan. Nilai x=3 memuaskan persamaan.

$$0=0$$

Gantikan 8 dengan x dalam persamaan \left(x^{2}-6x-16\right)\sqrt{x-3}=0.

$$\left(8^{2}-6\times 8-16\right)\sqrt{8-3}=0$$

Permudahkan. Nilai x=8 memuaskan persamaan.

$$0=0$$

Senaraikan semua penyelesaian \sqrt{x-3}x^{2}=6\sqrt{x-3}x+16\sqrt{x-3}.

$$x=3 x=8$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=-2$$

$$x=8$$

$$x=3$$