Selesaikan (x^2+3x-2)(x^2+3x+4)=16

$$( x ^ { 2 } + 3 x - 2 ) ( x ^ { 2 } + 3 x + 4 ) = 16$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=1$$

$$x=-4$$

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}\approx -1.5+1.936491673i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}\approx -1.5-1.936491673i$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x^{2}+3x-2 dengan x^{2}+3x+4 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8=16$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8-16=0$$

Tolak 16 daripada -8 untuk mendapatkan -24.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -24 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=1$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24 dengan x-1 untuk mendapatkan x^{3}+7x^{2}+18x+24. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{3}+7x^{2}+18x+24=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 24 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-4$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{3}+7x^{2}+18x+24 dengan x+4 untuk mendapatkan x^{2}+3x+6. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{2}+3x+6=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, 3 untuk b dan 6 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}$$

Selesaikan persamaan x^{2}+3x+6=0 apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=1 x=-4 x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Selesaikan untuk x

$$x=-4$$

$$x=1$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x^{2}+3x-2 dengan x^{2}+3x+4 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8=16$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8-16=0$$

Tolak 16 daripada -8 untuk mendapatkan -24.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -24 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=1$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24 dengan x-1 untuk mendapatkan x^{3}+7x^{2}+18x+24. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{3}+7x^{2}+18x+24=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 24 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-4$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{3}+7x^{2}+18x+24 dengan x+4 untuk mendapatkan x^{2}+3x+6. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{2}+3x+6=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, 3 untuk b dan 6 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}$$

Oleh kerana punca kuasa dua nombor negatif tidak ditakrifkan dalam medan sebenar, tiada penyelesaian.

$$x\in \emptyset$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=1 x=-4$$