Selesaikan (x+3)^2-(2x-1)^2=16

$$( x + 3 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

Selesaikan untuk x

$$x=2$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 4x^{2}-4x+1, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Gabungkan x^{2} dan -4x^{2} untuk mendapatkan -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Gabungkan 6x dan 4x untuk mendapatkan 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Tolak 1 daripada 9 untuk mendapatkan 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Tolak 16 daripada 8 untuk mendapatkan -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -3x^{2}+ax+bx-8. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=10 ab=-3\left(-8\right)=24$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 10.

$$a=6 b=4$$

Tulis semula -3x^{2}+10x-8 sebagai \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan -4 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(-x+2\right)-4\left(-x+2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim -x+2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(-x+2\right)\left(3x-4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan -x+2=0 dan 3x-4=0.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 4x^{2}-4x+1, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Gabungkan x^{2} dan -4x^{2} untuk mendapatkan -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Gabungkan 6x dan 4x untuk mendapatkan 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Tolak 1 daripada 9 untuk mendapatkan 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Tolak 16 daripada 8 untuk mendapatkan -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -3 dengan a, 10 dengan b dan -8 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kuasa dua 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan -4 kali -3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan 12 kali -8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\left(-3\right)}$$

Tambahkan 100 pada -96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 4.

$$x=\frac{-10±2}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan 2 kali -3.

$$x=\frac{-10±2}{-6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±2}{-6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -10 pada 2.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-8}{-6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±2}{-6} apabila ± ialah minus. Tolak 2 daripada -10.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Bahagikan -12 dengan -6.

$$x=2$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{3} x=2$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 4x^{2}-4x+1, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Gabungkan x^{2} dan -4x^{2} untuk mendapatkan -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Gabungkan 6x dan 4x untuk mendapatkan 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Tolak 1 daripada 9 untuk mendapatkan 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah.

$$-3x^{2}+10x=16-8$$

Tolak 8 daripada 16 untuk mendapatkan 8.

$$-3x^{2}+10x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$\frac{-3x^{2}+10x}{-3}=\frac{8}{-3}$$

Membahagi dengan -3 membuat asal pendaraban dengan -3.

$$x^{2}+\frac{10}{-3}x=\frac{8}{-3}$$

Bahagikan 10 dengan -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{-3}$$

Bahagikan 8 dengan -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Bahagikan -\frac{10}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Tambahkan -\frac{8}{3} pada \frac{25}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$