Selesaikan (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Selesaikan untuk v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Tolak 2v^{2} daripada kedua-dua belah.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Gabungkan v^{2} dan -2v^{2} untuk mendapatkan -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Tolak 2v daripada kedua-dua belah.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Gabungkan 8v dan -2v untuk mendapatkan 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Tolak 9 daripada 16 untuk mendapatkan 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -v^{2}+av+bv+7. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Satu-satunya pasangan itu ialah penyelesaian sistem.

$$a=7 b=-1$$

Tulis semula -v^{2}+6v+7 sebagai \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Faktorkan -v dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim v-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan v-7=0 dan -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Tolak 2v^{2} daripada kedua-dua belah.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Gabungkan v^{2} dan -2v^{2} untuk mendapatkan -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Tolak 2v daripada kedua-dua belah.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Gabungkan 8v dan -2v untuk mendapatkan 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Tolak 9 daripada 16 untuk mendapatkan 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 6 dengan b dan 7 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 6.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 36 pada 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan v=\frac{-6±8}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -6 pada 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Bahagikan 2 dengan -2.

$$v=-1$$

Sekarang selesaikan persamaan v=\frac{-6±8}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 8 daripada -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Bahagikan -14 dengan -2.

$$v=7$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$v=-1 v=7$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Tolak 2v^{2} daripada kedua-dua belah.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Gabungkan v^{2} dan -2v^{2} untuk mendapatkan -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Tolak 2v daripada kedua-dua belah.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Gabungkan 8v dan -2v untuk mendapatkan 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Tolak 16 daripada 9 untuk mendapatkan -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Bahagikan 6 dengan -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Bahagikan -7 dengan -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Bahagikan -6 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -3. Kemudian tambahkan kuasa dua -3 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Kuasa dua -3.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Tambahkan 7 pada 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Faktor v^{2}-6v+9. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Permudahkan.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$v=7 v=-1$$