Selesaikan (n-20)(7500+100n/n)=7500

$$( n - 20 ) ( \frac { 7500 + 100 n } { n } ) = 7500$$

Selesaikan untuk n

$$n=-30$$

$$n=50$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Pemboleh ubah n tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan n.

$$\left(n-20\right)\left(7500+100n\right)=7500n$$

Gunakan sifat agihan dengan mendarabkan setiap sebutan n-20 dengan setiap sebutan 7500+100n.

$$7500n+100n^{2}-150000-2000n=7500n$$

Gabungkan 7500n dan -2000n untuk mendapatkan 5500n.

$$5500n+100n^{2}-150000=7500n$$

Tolak 7500n daripada kedua-dua belah.

$$5500n+100n^{2}-150000-7500n=0$$

Gabungkan 5500n dan -7500n untuk mendapatkan -2000n.

$$-2000n+100n^{2}-150000=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 100.

$$-20n+n^{2}-1500=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$n^{2}-20n-1500=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai n^{2}+an+bn-1500. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-20 ab=1\left(-1500\right)=-1500$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -1500.

$$1,-1500 2,-750 3,-500 4,-375 5,-300 6,-250 10,-150 12,-125 15,-100 20,-75 25,-60 30,-50$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-1500=-1499 2-750=-748 3-500=-497 4-375=-371 5-300=-295 6-250=-244 10-150=-140 12-125=-113 15-100=-85 20-75=-55 25-60=-35 30-50=-20$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -20.

$$a=-50 b=30$$

Tulis semula n^{2}-20n-1500 sebagai \left(n^{2}-50n\right)+\left(30n-1500\right).

$$\left(n^{2}-50n\right)+\left(30n-1500\right)$$

Faktorkan n dalam kumpulan pertama dan 30 dalam kumpulan kedua.

$$n\left(n-50\right)+30\left(n-50\right)$$

Faktorkan sebutan lazim n-50 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(n-50\right)\left(n+30\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-50=0 dan n+30=0.

$$n=50 n=-30$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Pemboleh ubah n tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan n.

$$\left(n-20\right)\left(7500+100n\right)=7500n$$

Gunakan sifat agihan dengan mendarabkan setiap sebutan n-20 dengan setiap sebutan 7500+100n.

$$7500n+100n^{2}-150000-2000n=7500n$$

Gabungkan 7500n dan -2000n untuk mendapatkan 5500n.

$$5500n+100n^{2}-150000=7500n$$

Tolak 7500n daripada kedua-dua belah.

$$5500n+100n^{2}-150000-7500n=0$$

Gabungkan 5500n dan -7500n untuk mendapatkan -2000n.

$$-2000n+100n^{2}-150000=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$100n^{2}-2000n-150000=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 100 dengan a, -2000 dengan b dan -150000 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-2000\right)±\sqrt{\left(-2000\right)^{2}-4\times 100\left(-150000\right)}}{2\times 100}$$

Kuasa dua -2000.

$$n=\frac{-\left(-2000\right)±\sqrt{4000000-4\times 100\left(-150000\right)}}{2\times 100}$$

Darabkan -4 kali 100.

$$n=\frac{-\left(-2000\right)±\sqrt{4000000-400\left(-150000\right)}}{2\times 100}$$

Darabkan -400 kali -150000.

$$n=\frac{-\left(-2000\right)±\sqrt{4000000+60000000}}{2\times 100}$$

Tambahkan 4000000 pada 60000000.

$$n=\frac{-\left(-2000\right)±\sqrt{64000000}}{2\times 100}$$

Ambil punca kuasa dua 64000000.

$$n=\frac{-\left(-2000\right)±8000}{2\times 100}$$

Nombor bertentangan -2000 ialah 2000.

$$n=\frac{2000±8000}{2\times 100}$$

Darabkan 2 kali 100.

$$n=\frac{2000±8000}{200}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{2000±8000}{200} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2000 pada 8000.

$$n=\frac{10000}{200}$$

Bahagikan 10000 dengan 200.

$$n=50$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{2000±8000}{200} apabila ± ialah minus. Tolak 8000 daripada 2000.

$$n=-\frac{6000}{200}$$

Bahagikan -6000 dengan 200.

$$n=-30$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=50 n=-30$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Pemboleh ubah n tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan n.

$$\left(n-20\right)\left(7500+100n\right)=7500n$$

Gunakan sifat agihan dengan mendarabkan setiap sebutan n-20 dengan setiap sebutan 7500+100n.

$$7500n+100n^{2}-150000-2000n=7500n$$

Gabungkan 7500n dan -2000n untuk mendapatkan 5500n.

$$5500n+100n^{2}-150000=7500n$$

Tolak 7500n daripada kedua-dua belah.

$$5500n+100n^{2}-150000-7500n=0$$

Gabungkan 5500n dan -7500n untuk mendapatkan -2000n.

$$-2000n+100n^{2}-150000=0$$

Tambahkan 150000 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$-2000n+100n^{2}=150000$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$100n^{2}-2000n=150000$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 100.

$$\frac{100n^{2}-2000n}{100}=\frac{150000}{100}$$

Membahagi dengan 100 membuat asal pendaraban dengan 100.

$$n^{2}+\left(-\frac{2000}{100}\right)n=\frac{150000}{100}$$

Bahagikan -2000 dengan 100.

$$n^{2}-20n=\frac{150000}{100}$$

Bahagikan 150000 dengan 100.

$$n^{2}-20n=1500$$

Bahagikan -20 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -10. Kemudian tambahkan kuasa dua -10 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}-20n+\left(-10\right)^{2}=1500+\left(-10\right)^{2}$$

Kuasa dua -10.

$$n^{2}-20n+100=1500+100$$

Tambahkan 1500 pada 100.

$$n^{2}-20n+100=1600$$

Faktor n^{2}-20n+100. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-10\right)^{2}=1600$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n-10\right)^{2}}=\sqrt{1600}$$

Permudahkan.

$$n-10=40 n-10=-40$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$n=50 n=-30$$